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Per stabilire (posto che sia possibile) se (o quando) un piano d’accumulo sia migliore (o peggiore) di un investimento in unica soluzione a parità di capitale totale, o quali condizioni facciano decidere se sarebbe meglio adottare una forma piuttosto dell’altra, bisogna trovare il punto in cui un investimento in unica soluzione, al di là del valore dei singoli rendimenti ottenuti, generi il medesimo patrimonio di un investimento avvenuto attraverso un piano d’accumulo.

Siano:

(1)

Il rapporto tra i valori risultanti dai due metodi d’investimento dipende semplicemente dal rapporto tra le quantità di quote complessivamente ottenute:

(2)

Per il risultato dell’investimento sarebbe più favorevole il metodo del versamento in unica soluzione se il numero di quote ottenute fosse maggiore di quello che si sarebbe ottenuto dal piano d’accumulo; il piano d’accumulo sarebbe più favorevole nel caso opposto.

Approfondiamo l’approccio matematico.

Se il numero di quote dipende dall’importo di volta in volta investito e dal valore che la quota assume in ogni istante d’investimento, allora il quantitativo complessivamente acquisito sarà:

(3)

La variabile rappresentativa della rata non è indicizzata perché il suo valore è costante per tutti i versamenti.

Riprendiamo in esame le (1) e sostituiamo in esse le (3). Potremo, quindi, riscrivere le (1) nelle seguenti:

(4)

Il rapporto tra un valore finale ed un valore iniziale rappresenta il tasso complessivo (semplice) di crescita di ogni versamento, sia esso in forma unica o sia solo una delle parti di un investimento rateale.

Le (4) possono essere riscritte come segue:

(5)

Con:

-          Tasso di periodo totale: si intende il tasso semplice che copre l’intero periodo dell’investimento (o, comunque, dall’inizio al momento di valutazione);

-          Tasso di rata: si intende il tasso semplice di variazione di ogni rata nel periodo che intercorre tra il proprio versamento e il termine dell’investimento (o, comunque, il momento della valutazione).

Le (5) dimostrano che il risultato ottenibile da un piano di accumulo dipende principalmente dalla capacità delle rate di produrre reddito. L’uguaglianza dei risultati dei due diversi modi di investire il medesimo capitale si avrà quando:

cioè quando:

Ma la differenza tra il capitale totale investito (o da investire nel piano d’accumulo) e il versamento iniziale del piano  d’accumulo non è altro che il totale delle “N” rate successive del piano medesimo. Pertanto:

(6)

 Da cui:

(7)

Cioè:

Il patrimonio risultante da un investimento in un fondo comune attraverso un versamento unico è uguale a quello ottenuto attraverso un piano d’accumulo equivalente se la media aritmetica dei tassi di capitalizzazione semplice delle singole rate del piano d’accumulo è uguale al tasso di capitalizzazione semplice del versamento unico. Non sono rilevanti le entità dell’investimento totale, del versamento iniziale e delle rate. I tassi di capitalizzazione sono intesi come i rapporti tra il valore finale e i valori iniziali degli indici al momento d’inizio dell’investimento e nei momenti di versamento di ogni rata.

Come conseguenza di questa affermazione si può concludere che un piano d’accumulo è in grado di offrire una performance migliore di un investimento unico solo se la media dei tassi di crescita delle singole rate (escluso il versamento iniziale!) è maggiore del tasso di crescita del versamento unico.

Nella tabella di Figura 35 è riassunto lo sviluppo di un piano d’accumulo e il risultato del versamento unico.

Figura 35

Supponiamo, ora, che i due diversi modi d’investire diano il medesimo risultato patrimoniale (diverso da quello singolarmente raggiunto).

Siccome non è possibile assegnare nuovi valori all’indice alle diverse date di versamento delle 11 rate per ottenere che il patrimonio del piano d’accumulo sia uguale a quello risultante dall’investimento unico, dovremo trovare quel valore che l’indice Mibtel all’inizio dell’investimento avrebbe dovuto assumere per  consentire un identico risultato patrimoniale finale, lasciando invariati i valori delle quote corrispondenti ai versamenti delle 11 rate, in modo da assicurare i criteri di crescita indicati dalla (7).

Se il valore finale dell’indice è uguale a 18.821 e il tasso semplice medio di crescita delle quote in coincidenza dei versamenti delle 11 rate è uguale a 1,05819, e se tale valore deve essere uguale al tasso di crescita del patrimonio nel caso di versamento unico, il valore dell’indice all’inizio dell’investimento deve essere, uguale a:

sia per l’investimento unico che per il piano d’accumulo (questo valore è diverso da quello effettivamente osservato pari a 16.094).

A questo valore di quota, l’investimento in unica soluzione di un importo pari a 1.150 permetterebbe di ottenere:

Il patrimonio raggiunto dal versamento unico sarebbe a questo punto:

Questo dovrà essere anche l’ammontare del patrimonio finale se l’investimento fosse stato eseguito attraverso un piano d’accumulo.

La verifica di questa affermazione viene fatta riscrivendo la tabella di Figura 35 nella tabella di Figura 36, in cui l’unico dato che viene modificato è il valore dell’indice all’inizio dell’investimento, da cui derivano tutte le altre variazioni.

 Figura 36

Data l’evoluzione del valore dell’indice (che non subisce modifiche) nei momenti degli 11 versamenti delle rate del piano d’accumulo, affinché i due modi d’investimento forniscano la medesima prestazione dal punto di vista del patrimonio finale, il valore iniziale dell’indice avrebbe dovuto assumere il valore di 17.786 e non quello effettivamente osservato (16.094).

Come si vede nella tabella, il tasso di crescita media delle rate del piano d’accumulo e il tasso di periodo totale del versamento unico sono uguali, soddisfacendo la condizione posta dalla (7).

Dall’analisi dei risultati ottenuti da questa simulazione si può dedurre che, siccome una serie di dati qualsiasi si dispone in parte al di sopra e in parte al di sotto del valore della propria media, nel caso dell’investimento attraverso un piano d’accumulo si potrà ottenere un risultato migliore di un investimento unico se il valore medio del tasso di crescita dei valori delle singole quote si mantiene superiore al tasso di crescita dell’ultima quota rispetto a quella di inizio investimento, e ciò si può ottenere se una parte delle quote si dispone al di sotto del valore d’inizio per assicurare una maggiore crescita pur disponendo di un periodo di tempo inferiore.

Mentre nella tabella di Figura 35 il valore iniziale è uno dei due valori più bassi della serie, nella tabella di Figura 36 questo valore è vicino al valore medio (17.828), con 6 valori inferiori e appena 5 superiori. Ma i valori bassi producono l’effetto moltiplicatore quando l’indice aumenta di valore, contribuendo in modo rilevante al miglioramento della performance.

Nel caso della Figura 35, il basso valore effettivamente assunto dall’indice di partenza modifica il risultato della prestazione. In entrambi in casi il patrimonio risultante è superiore a quello investito, però, a parità di tutti i valori successivi al primo, il fatto che esso sia tra i più bassi della serie (vi sono 10 valori superiori sui rimanenti 11) fa produrre un risultato migliore per il versamento unico rispetto al piano d’accumulo, il cui tasso medio di crescita delle rate risulta essere inferiore.